Callum è nato a Cambridge, in Gran Bretagna, l’11 novembre 1998.
Callum è salito per la prima volta sui kart all’età di sette anni. Compiuti dodici anni è diventato campione inglese under 16 di Formula Kart Stars e ha concluso terzo nel campionato nazionale tedesco KFJ. All’età di tredici anni Callum ha dominato la categoria under 15 KFJ, ha ottenuto la vittoria in WSK Masters Series, WSK Final Cup, e si è classificato secondo in WSK Euro Series e CIK – FIA World Cup. Nel 2014, all’età di quindici anni, si è laureato nel campione europeo CIK – FIA, ha ottenuto la vittoria in WSK Super Master Series ed è giunto quarto nel Campionato mondiale CIK – FIA. Ha debuttato in FIA F3 nel 2015 con il team Carlin e nel 2016 con il team Van Amersfoort Racing è stato sesto con due vittorie (Paul Ricard e Spielberg).
Nel 2017 è entrato a far parte della Ferrari Driver Academy ed è stato quarto in Formula 3 FIA con il Prema Powerteam (sei le vittorie: Silverstone, Monza, Hungaroring, Zandvoort, Spielberg e Hockenheim) con il quale ha anche vinto la Qualification Race del prestigioso GP di Macao. Nel 2018 ha corso in GP3 con il team ART Grand Prix ottenendo il terzo posto in campionato con 167 punti e due affermazioni (Paul Ricard e Spielberg).
Nel 2019 gareggia in FIA Formula 2 con il Sauber Junior Team by Charouz Racing ottenendo la pole position a Monza e due terzi posti a Barcellona e a Sochi. Per lui anche altri otto piazzamenti in zona punti e l’undicesimo posto finale.
Nel 2020 è vicecampione di Formula 2 con il team UNI-Virtuosi Racing conquistando tre vittorie e cinque pole position (più di chiunque altro). A fine 2020 viene annunciato come test driver della Scuderia Ferrari per il 2021.