Hijo de un productor de ganado ovino de Nueva Zelanda, pilotó para Ferrari entre 1967 y 1969, y subió numerosas veces al podio, una de ellas en Mónaco, donde obtuvo el tercer puesto en su primera carrera para la Scuderia. Tenía solo 23 años. En 1967, fue tercero en cuatro ocasiones.

En 1968 mereció ganar el título mundial. El tándem Amon/Ferrari fue el más rápido de la temporada. Hizo pole tres veces, estuvo en la primera línea de la parrilla en 8 de las 12 competiciones y lideró la carrera en numerosos grandes premios. Sin embargo, la victoria insistía en escapársele de las manos, por lo general debido a fallos mecánicos de poca importancia. 

Iba en primera posición en el GP de España cuando estalló un fusible de la bomba de gasolina. En Spa, Bélgica, fue casi cuatro segundos más rápido en las rondas de clasificación y estaba peleando por la victoria cuando una piedra perforó el radiador de su Ferrari. En el GP de Gran Bretaña, quedó segundo después de luchar durante toda la carrera por el liderato. En el Gran Premio de Canadá, iba camino de la victoria, pero sufrió un fallo en la caja de cambios. 

Amon lideró la segunda carrera de la temporada del Campeonato del Mundo de 1969, el GP de España, con 40 segundos de ventaja antes de sufrir un fallo en el motor. Amon dejó Ferrari al final de aquel año decepcionante pensando que tendría más éxito con un equipo británico más pequeño que empleaba un motor Cosworth V8, el más utilizado por aquella época. No fue una buena idea. En 1970, Ferrari tuvo un buen año utilizando el 312B, un nuevo coche de Fórmula 1 con motor plano de 12 cilindros. El nuevo líder del equipo, Jacky Ickx, ganó tres carreras y quedó en segundo lugar en el título mundial de ese año. 

Puede que nunca ganase un Campeonato del Mundo de Fórmula 1, pero Amon disfrutó del éxito en muchas otras categorías del automovilismo deportivo. Su contrato con Ferrari incluía carreras de resistencia y, junto con Lorenzo Bandini, obtuvo una victoria memorable en las 24 horas de Daytona de 1967 en un 330 P4. Fue uno de los mayores éxitos de la Scuderia que, como es bien sabido, copó las tres primeras posiciones. También ganó los 1000 km de Monza de coches deportivos de ese año y ayudó a Ferrari a llevarse el Campeonato de Constructores de 1967.

Otro de sus triunfos con Ferrari fue el Campeonato de Tasmania (Tasman Series) de 1969, el último año en que tuvo categoría internacional. Esta carrera, que se celebraba en Nueva Zelanda y Australia durante la temporada de invierno (enero-febrero), estaba destinada a monoplazas obsoletos para Fórmula 1 y otros coches similares. Amon ganó cuatro de las siete carreras, incluidas las de Nueva Zelanda y Australia, al volante de un Dino 246 con motor V6, en esencia un coche de Fórmula 2 más potente. Entre los pilotos a los que venció estaba el actual campeón del mundo, Graham Hill.

Amon había abandonado Nueva Zelanda con 19 años a principios de los años 60 tras ser descubierto por Reg Parnell, propietario de un equipo de Fórmula 1 inglés que había visto a Amon correr con un viejo Maserati 250F y pensó que solo Fangio había conducido un 250F igual de bien. A mediados de los 70, el neozelandés no ocultaba su deseo de regresar a Nueva Zelanda. Finalmente se retiró de la Fórmula 1 a los 33 años, después del terrible accidente de Niki Lauda en Nürburgring en 1976. Volvió para dirigir la explotación ganadera de la familia con su esposa Trish en 1977. Murió de cáncer en 2016, a los 73 años de edad.

En una ocasión, mucho después de su retirada del automovilismo, le preguntaron sobre su notoria mala suerte. “No”, respondió Amon. Él fue uno de los afortunados. Muchos de sus amigos y compañeros de equipo de aquella época murieron, “y yo todavía estoy aquí”.